Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.
Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?
Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10) , то и сама первая дробь меньше второй дроби.
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d
Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.
Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .
Решение.
В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .
Ответ:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.
Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями : из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Сравните дроби 54/19 и 54/31 .
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .
Задачи урока:
- Обучающие: научить сравнивать обыкновенные дроби различных видов, используя различные приемы;
- Развивающие: развитие основных приемов мыслительной деятельности, обобщения сравнения, выделение главного; развитие памяти, речи.
- Воспитательные: учиться слушать друг друга, воспитание взаимовыручки, культуры общения и поведения.
Этапы урока:
1. Организационный.
Начнем урок словами французского писателя А.Франса: “Учиться можно весело….Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом”.
Последуем этому совету, постараемся быть внимательными, будем поглощать знания с большим желанием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем.
2. Актуализация знаний учащихся.
1.)Фронтальная устная работа учащихся.
Цель: повторить пройденный материал, требующийся при изучении нового:
А) правильные и неправильные дроби;
Б) приведение дробей к новому знаменателю;
В) нахождение наименьшего общего знаменателя;
(Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют их в наличии на каждом уроке. На них пишут ответы фламастером, а за тем ненужная информация стирается.)
Задания для устной работы.
1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки:
А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
2. Привести дроби к новому знаменателю 30:
1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.
Найти наименьший общий знаменатель дробей:
1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2.
2.) Игровая ситуация.
Ребята, наш знакомый клоун (учащиеся познакомились с ним в начале учебного года) попросили меня помочь решить ему задачу. Но я считаю, что вы, ребята, сможете без меня помочь нашему другу. А задача следующая.
“Сравнить дроби:
а) 1/2 и 1/6;
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 12/7 и 4/7;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
и) 7/7 и 1.”
Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должны научиться?
Цель урока, задачи (учащиеся формулируют самостоятельно).
Учитель помогает им, задавая вопросы:
а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить?
б) какой инструмент для сравнения дробей нам необходим?
3. Ребята в группах (в постоянных разноуровневых).
Каждой группе выдается задание и инструкция к его выполнению.
Первая группа: Сравнить смешанные дроби:
а) 1 1/2 и 2 5/6;
б) 3 1/2 и 3 4/5
и вывести правило равнения смешанных дробей с одинаковыми и с разными целыми частями.
Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч)
- сравните целые части дробей и сделайте вывод;
- сравните дробные части (правило сравнения дробных частей не выводить);
- составьте правило – алгоритм:
Вторая группа: Сравнить дроби с разными знаменателями и разными числителями. (использовать числовой луч)
а) 6/7 и 9/14;
б) 5/11 и 1/22
Инструкция
- Сравните знаменатели
- Подумайте, нельзя ли привести дроби к общему знаменателю
- Правило начните со слов: “Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо…”
Третья группа: Сравнение дробей с единицей.
а)2/3 и 1;
б) 8/7 и 1;
в)10/10 и 1 и сформулировать правило.
Инструкция
Рассмотрите все случаи: (используйте числовой луч)
а) Если числитель дроби равен знаменателю, ………;
б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………;
в) Если числитель дроби больше знаменателя,………. .
Сформулируйте правило.
Четвертая группа: Сравните дроби:
а) 5/8 и 3/8;
б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковым знаменателем.
Инструкция
Используйте числовой луч.
Сравните числители и сделайте вывод, начиная словами: “Из двух дробей с одинаковыми знаменателями……”.
Пятая группа: Сравните дроби:
а) 1/6 и 1/3;
б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:
0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__
Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Инструкция
Сравните знаменатели и сделайте вывод, начиная со слов:
“Из двух дробей с одинаковыми числителями………..”.
Шестая группа: Сравните дроби:
а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч
0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__
Сформулируйте правило сравнения правильных и неправильных дробей.
Инструкция.
Подумайте, какая дробь всегда больше, правильная или неправильная.
4. Обсуждение выводов, сделанных в группах.
Слово каждой группе. Формулировка правил учащихся и сравнение их с эталонами соответствующих правил. Далее выдаются распечатки правила сравнения различных видов обыкновенных дробей каждому учащемуся.
5. Возвращаемся к задаче, поставленной в начале урока. (Решаем задачу клоуна вместе).
6. Работа в тетрадях. Используя правила сравнения дробей, учащиеся под руководством учителя сравнивают дроби:
а) 8/13 и 8/25;
б)11/42 и 3/42;
в)7/5 и 1/5;
г) 18/21и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5 ;
е) 5 1/2 и 5 4/3;
(возможно приглашение ученика к доске).
7. Учащимся предлагается выполнить тест по сравнению дробей на два варианта.
1 вариант.
1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12
а) 1/8 > 1/12;
б) 1/8 <1/12;
в) 1/8=1/12
2) Что больше: 5/13 или 7/13?
а) 5/13;
б) 7/13;
в) равны
3) Что меньше: 2\3 или 4/6?
а) 2/3;
б) 4/6;
в) равны
4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7?
а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7
5) Какая из дробей больше 1: ?; 7/8; 4/3?
а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3
6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9
а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9
2 вариант.
1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10
а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10
2) Что больше: 10/12или1/12?
а) равны;
б) 10/12;
в) 1/12
3) Что меньше: 3/5 или 1/10?
а) 3/5;
б) 1/10;
в) равны
4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16?
а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16
5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8 ;11/12 ?
а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12
6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3
а) 3 1/4=3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4 < 3 2/3
Ответы к тесту:
1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а
2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в
8. Еще раз возвращаемся к цели урока.
Проверяем правила сравнения и даем дифференцированное домашнее задание:
1,2,3 группы – придумать на каждое правило сравнение по два примера и решить их.
4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника).
Сравнение дробей. В этой статье разберём различные способы используя которые можно сравнить две дроби. Рекомендую посмотреть весь по дробям и изучать последовательно.
Прежде чем показать стандартный алгоритм сравнения дробей давайте разберём некоторые случаи, в которых сразу глядя на пример можно сказать которая из дробей будет больше. Здесь нет особой сложности, немного аналитики и всё готово. Посмотрите на следующие дроби:
В строке (1) сразу можно определить какая дробь больше, в строке (2) это сделать затруднительно и тут применим «стандартный» (или его можно назвать наиболее часто применяемым) подход для сравнения.
Способ первый – аналитический.
1. Перед нами две дроби:
Числители равны, знаменатели неравны. Какая из них больше? Ответ очевиден! Больше та, у которой меньше знаменатель, то есть три семнадцатых. Почему? Простой вопрос: Что больше – одна десятая часть от чего либо или одна тысячная? Конечно же, одна десятая.
Получается, что при равных числителях больше та дробь, у которой меньше знаменатель. Не имеет значения стоят ли в числителях единицы или другие равные числа, суть не меняется.
Дополнительно к этому можно добавить следующий пример:
Какая из данных дробей больше (х положительное число)?
На основании уже представленной информации не трудно сделать вывод.
*Знаменатель первой дроби меньше, значит она больше.
2. Теперь рассмотрим вариант когда в одной из дробей числитель больше знаменателя. Пример:
Понятно, что первая дробь больше единицы, так как числитель больше знаменателя. А вторая дробь меньше единицы, поэтому без вычислений и преобразований можем записать:
3. При сравнении некоторых обыкновенных неправильных дробей явно видно, что у одной из них целая часть больше. Например:
В первой дроби целая часть равна трём, а во второй единице, поэтому:
4. В некоторых примерах также явно видно какая дробь больше, например:
Видно, что первая дробь меньше 0,5. Почему? Если выразить подробно, то:
а вторая больше 0,5:
Поэтому можно ставить знак сравнения:
Способ второй. «Стандартный» алгоритм сравнения.
Правило! Чтобы сравнить две дроби, необходимо чтобы знаменатели были равны. Тогда сравнение осуществляется по числителям. Больше будет та дробь, у которой больше числитель.
*Это и есть основное ВАЖНОЕ ПРАВИЛО, которым пользуются для сравнения дробей.
Если даны две дроби с неравными знаменателями, то необходимо их привести к такому виду, чтобы они были равны. Для этого используется дроби.
Сравним следующие дроби (знаменатели неравны):
Приведём их:
Как привести дроби к равным знаменателям? Очень просто! Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой.
Ещё примеры:
Обратите внимание, что знаменатель вычислять не обязательно (видно что они равны), для сравнения достаточно вычислить только числители.
*Все дроби, которые мы рассмотрели выше (первый способ) можно сравнить также используя этот подход.
На этом можно было бы закончить … Но есть ещё один «беспроигрышный» способ сравнения.
Способ третий. Деление столбиком.
Посмотрите пример:
Согласитесь, что для того чтобы привести к общему знаменателю и затем сравнить числители необходимо выполнить относительно объёмные вычисления. Используем следующий подход — выполним деление столбиком:
Как только мы обнаруживаем разницу в результате, то процесс деления можно остановить.
Вывод: так как 0,12 больше чем 0,11, то вторая дробь будет больше. Таким образом, можно поступать со всеми дробями.
На этом всё.
С уважением, Александр.