В переводе с греческого языка, гипотенуза - значит «натянутый». Для правильного понимания представьте себе тетиву лука, которая соединяет два конца гибкой палки. Вот также и в прямоугольном треугольнике, самой большей по длине стороной, является гипотенуза, которая лежит против прямого угла. Она выступает соединителем двух других сторон, именуемых катетами. Чтобы узнать какая же длинна этой «тетевы», необходимо иметь значения длин катетов, либо величину двух острых углов. Комбинируя эти данные можно высчитать с помощью формул нужное значение.

Как найти гипотенузу по катетам

Самый простой способ расчета, если вы знаете величину двух катетов (обозначим один А, второй В). В помощь приходит сам Пифагор и его всемирно известная теорема. Она повествует нам, что если возвести длину катетов в квадрат и сложить посчитаные значения, то в результате мы узнаем значение длинны гипотенузы возведенное в квадрат. Из выше приведенного сделаем вывод: для нахождения величины гипотенузы необходимо извлечь квадратный корень из общей суммы квадратов катетов С=√(А²+В²). Пример: катет А=10 см, катет В=20 см. Гипотенуза при этом равна 22,36 см. Расчет происходит так: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.

Как найти гипотенузу через угол

Немного сложнее рассчитать длину гипотенузы через заданный угол. Если вы знаете размер одного из двух катетов (обозначим А) и величину угла (обозначим α), который лежит напротив него, то размер гипотенузы находится с помощью тригонометрии, а конкретно - синуса. Все что нужно сделать, это разделить значение известного катета на синус угла. С=А/sin(α). Пример: длинна катета А=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Еще один способ - найти размер гипотенузы через косинус. Он применяется если вам известен размер катета (обозначим В) и острого угла (обозначим α), который прилегает к нему. Все что нужно сделать, это разделить значение катета на синус угла. С=В/ cos(α). Пример: длинна катета В=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/cos(45°)=30/0,71=42,25.

Как найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника

Любой, уважающий себя школьник знает, что треугольник равнобедренный, при условии, что две из трех сторон равны между собой. Эти стороны именуются боковыми, а та что остается - основанием. Если же один из углов равняется 90°, то перед вами равнобедренный прямоугольный треугольник.

Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике, просто, ведь он имеет несколько свойств которые помогут. Угли прилягающие к основанию одинаковы по значению, общая сумма значений углов равняется 180°. Это значит, что прямой угол лежит напротив основания, значит основание - гипотенуза, катетами являются боковые стороны.

Теорема Пифагора является фундаментальной для каждой математики. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Теперь зафиксировано 367 доказательств этой теоремы.

Инструкция

1. Классическая школьная формулировка теоремы Пифагора звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, дабы обнаружить гипотенузу прямоугольного треугольника по двум катетам, нужно поочередно построить в квадрат длины катетов, сложить их и извлечь квадратный корень из итога. В первоначальной своей формулировке теорема утверждала, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей 2-х квадратов, построенных на катетах. Впрочем современная алгебраическая формулировка не требует вводить представление площади.

2. Пускай, скажем, дан прямоугольный треугольник, катеты которого равны 7 см и 8 см. Тогда, согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен 7?+8?=49+64=113 см?. Сама гипотенуза равна корню квадратному из числа 113. Получилось иррациональное число, которое идет в результат.

3. Если катеты треугольника равны 3 и 4, тогда гипотенуза равна?25=5. При извлечении квадратного корня получилось естественное число. Числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку, так как они удовлетворяют соотношению x?+y?=z?, будучи все естественными. Другие примеры пифагоровой тройки: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

4. В том случае если катеты равны между собой, тогда теорема Пифагора переходит в больше примитивное уравнение. Пускай, к примеру, оба катета равны числу A, а гипотенуза обозначена за C. Тогда C?=A?+A?, C?=2A?, C=A?2. В этом случае не надобно возводить в квадрат число A.

5. Теорема Пифагора – частный случай больше всеобщей теоремы косинусов, которая устанавливает соотношение между тремя сторонами треугольника для произвольного угла между какими-нибудь двумя из них.

Гипотенузой именуется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится наоборот угла в 90 градусов. Для того, дабы рассчитать его длину, довольно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Инструкция

1. При знаменитом катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:h = C1(либо C2)/sin?;h = С1(либо С2)/cos?.Пример: Пускай дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пускай угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Нужно обнаружить длину гипотенузы AB. Для этого дозволено воспользоваться любым из предложенных выше методов:AB = BC/cos60 = 8 см.AB = BC/sin30 = 8 см.

Гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника . Она расположена противоположно прямому углу. Метод нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника зависит от того, какими начальными данными вы владеете.

Инструкция

1. Если вестимы катеты прямоугольного треугольника , то длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть обнаружена с поддержкой теоремы Пифагора – квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:с2 = а2 + b2, где а и b – длины катетов прямоугольного треугольника .

2. Если знаменит один из катетов и острый угол, то формула для нахождения гипотенузы будет зависеть от того, какой данный угол по отношению к знаменитому катету – прилежащий (расположенный вблизи катета) либо противолежащий (расположенный наоборот него.В случае прилежащего угла, гипотенуза равна отношению катета на косинус этого угла: с = a/cos?;E угол противолежащий, гипотенуза равна отношению катета на синус угла: с = a/sin?.

Видео по теме

Полезный совет
Прямоугольный треугольник, стороны которого соотносятся как 3:4:5, назван египетским треугольником, от того что именно такие фигуры энергично применялись архитекторами Старинного Египта. Он является также простейшим примером Героновых треугольников, в которых стороны и площадь представлены целыми числами.

Как известно, геометрия – непростая наука, требующая особой аккуратности и точности в решении задач. Многие выражения и формулы, которые мы впоследствии используем в более сложных вычислениях, изложены в учебниках по математике 6-7 класса. Чтобы сделать процесс изучения тригонометрических функций более простым и приятным, в этой статье мы рассмотрим несколько коротких способ вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника.

Как найти гипотенузу по катетам?

Вспомним немного теории: прямоугольным треугольником называют плоскую фигуру, у которой есть три угла. Один из них имеет величину 90º, а стороны называют катетами и гипотенузой. Та сторона, которая противолежит прямому углу, и есть гипотенуза, а остальные две – это прилежащие катеты. Главная игра сторон проявляется в теореме Пифагора, согласно которой гипотенуза равняется сумме квадратов катетов. Однако это лишь кажется запутанным, ведь на самом деле все гораздо проще.

Свойства геометрической фигуры

Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:

1. В прямоугольном треугольнике оба острых угла в сумме будут равны 90º.
2. Катет, лежащий против угла в 30º, будет равен ½ от величины гипотенузы.
3. Если катет равен ½ от значения гипотенузы, тогда второй угол будет иметь такую же величину – 30º.

Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В. Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза. Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:

Например, если катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тогда вычисление будет иметь следующий вид:

Как найти гипотенузу через угол?

Еще одним способом, который поможет узнать, чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, является вычисление через заданный угол. Для этого нам потребуется вывести величину через формулу синуса. Допустим, нам известна величина катета (А) и значение противолежащего угла (α). Тогда все решение заключается в одной формуле: С=А/sin(α).

Например, если длина катета 40 см, а угол составляет 45°, тогда длину гипотенузы можно вывести следующим образом:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Определить искомую величину можно также через косинус заданного угла. Допустим, нам известно значение одного катета (В) и острого прилежащего угла (α). Тогда для решения задачи понадобится одна формула: С=В/ cos(α).

К примеру, если длина катета имеет значение 50 см, а угол составляет 45°, тогда гипотенузу можно вычислить следующим образом:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Таким образом, мы рассмотрели основные способы как узнать гипотенузу в треугольнике. В ходе решения задания важно сконцентрировать внимание на имеющихся данных, тогда найти неизвестную величину будет достаточно просто. Необходимо знать всего пару формул и процесс решения задач станет простым и приятным.

Инструкция

Пусть известен один из катетов прямоугольного треугольника. Предположим |BC| = b. Тогда мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, согласно гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2. Из данного уравнения находим неизвестный катет |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Пусть известен один из углов прямоугольного треугольника, предположим ∟α. Тогда AB и BC прямоугольного треугольника ABC можно найти, используя тригонометрические функции. Так получаем: синус ∟α равен отношению противолежащего катета sin α = b / c, косинус ∟α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе cos α = a / c. Отсюда находим требуемые длины сторон: |AB| = a = с * cos α, |BC| = b = c * sin α.

Пусть известно соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с использованием тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ∟α: прилежащего катета ctg α = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg α. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:

b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Выносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. И отсюда легко получаем длину катета b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

По аналогии, если известно соотношение катетов b / a, решаем задачу с применением тангенс tg α = b / a. Подставляем значение b = a * tg α в теорему Пифагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Отсюда a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

Рассмотрим частные случаи.

∟α = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Видео по теме

Обратите внимание

Квадратные корни извлекаются с положительным знаком, т.к. длина не может быть отрицательной величиной. Это кажется очевидным, но данная ошибка очень распространена, если решать задачу на автомате.

Полезный совет

Для нахождения катетов прямоугольного треугольника удобно использовать формулы приведения: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Источники:

• Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.

Вам понадобится

• Калькулятор, таблицы Брадиса.

Инструкция

Если вам задан один из острых углов, например, A, и гипотенуза, то катеты можно найти из определений основных тригонометрических :

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).

Полезный совет

В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.

Источники:

• как вычислить сторону прямоугольного треугольника в 2019

Совет 3: Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника

Треугольник , один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольник а не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.

Инструкция

Используйте для вычисления величин (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный тре. Такое , например, для синуса острого угла как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию - арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину острого угла в треугольник е, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольник а составляет 180°, а в треугольник е один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.

Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.

Можно воспользоваться аналогичным тангенса - он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.

Видео по теме

Совет 4: Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника , расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника , можно воспользоваться несколькими способами.

Инструкция

Можно узнать третьей стороны , зная длины двух других сторон треугольника . Это можно выполнить с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат прямоугольного треугольника сумме квадратов его катетов. (a² = b²+ c²). Отсюда можно выразить длины всех сторон прямоугольного треугольника :
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
К примеру, у прямоугольного треугольника известна длина гипотенузы a (18 см) и одного из катетов, например c (14 см). Чтобы длину другого катета, требуется совершить 2 алгебраических действия:
с² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Ответ: длина катета составляет √128 см или, приблизительно, 11.3 см

Можно прибегнуть к , если известны длина гипотенузы и величина одного из острых данного прямоугольного треугольника . Пусть длина c, один из острых углов равен α. В таком случае, найти 2 другие стороны прямоугольного треугольника можно будет при помощи следующих формул:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Можно привести : длина гипотенузы равна 15 см, один из острых углов равен 30 градусам. Для нахождения длин двух других сторон нужно выполнить 2 действия:
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (приблизительно)

Самый нетривиальный способ найти длину стороны прямоугольного треугольника - это выразить ее из периметра данной фигуры:
P = a + b + c, где P - периметр прямоугольного треугольника . Из этого выражения легко выразить длину любой из сторон прямоугольного треугольника .

Совет 5: Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны

Знания всех трех сторон в прямоугольном треугольнике более чем достаточно для вычисления любого из его углов. Этой информации настолько много, что у вас даже появляется возможность выбрать, которые из сторон задействовать в расчетах, чтобы использовать наиболее вам симпатичную тригонометрическую функцию.

Инструкция

Если вы предпочтете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) - самой длинной стороны - и того катета (А), который лежит напротив искомого угла (α). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса искомого угла, а обратная синусу функция - арксинус - из полученного значения восстановит величину угла в . Поэтому используйте в вычислениях такую : α = arcsin(A/C).

Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют искомый угол (α). Одна из них будет гипотенузой (С), а другая - катетом (В). По определению косинус - длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а угла из значения косинуса функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: α = arccos(B/C).

Можно использовать в расчетах . Для этого вам нужны длины двух коротких сторон - катетов. Тангенс острого угла (α) в прямоугольном треугольнике определяется отношением длины катета (А), лежащего напротив него, к длине прилежащего катета (В). По аналогии с описанными выше вариантами используйте такую формулу: α = arctg(А/B).

Формула

Какой треугольник называют прямоугольным?

Гипотенуза и катеты

Соотношения между гипотенузой и катетами

c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет

Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.

Есть три варианта решения этой задачи. Первый - если в условиях задачи дано, что катеты равны (по сути, мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник). Второй - если еще дан какой-то угол (кроме угла в 45%, тогда мы имеем тот же равнобедренный треугольник и возвращаемся к первому варианту). И третий - когда известен один из катетов. Рассмотрим данные варианты подробнее.

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

• первый катет (обозначим его буквой "a") равен второму катету ((обозначим его буквой "b"): a=b;

• размер катетов;

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит - a=a.

1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного):
   c^2=a^2+a^2,
2. Далее максимально упрощаем формулу:
   с^2=2*(a^2) - группируем,
   с=√2*а - подносим обе части уравнения к квадратному кореню,
   a=c/√2 - выносим искомое.
3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение:
   a=x/√2

Как найти катеты, при известной гипотенузе и угле

• гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
• угол β равный q: β=q;

• размер катетов;

Для решения этой задачи необходимо использовать тригонометрические функции. Найболее популярны две из них:

• функция синуса - синус искомого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
• функция косинуса - косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;

Вы можете использовать любую. Я наведу пример с использованием первой. Пусть катеты у нас обозначаються символами "a" (прилежащий к углу) и "b" (противолежащий к углу). Соответственно наш угол лежит между катетом "a" и гипотенузой.

1. Подставляем выбранные условные обозначения в формулу:
   sinβ = b/c
2. Выводим катет:
   b=c*sinβ
3. Подставляем наши данный и имеем один катет.
   b=c*sinq

Второй катет можно найти воспользовавшись второй тригонометрической функцией, или же перейти к третьему варианту.

Как найти один катет, если известна гипотенуза и другой катет

• гипотенуза (обозначим ее буквой "c") равна х см: c=x;
• катет (обозначим его буквой "b") равен y см: b=y;

• размер другого катета (обозначим его буквой "a");

В этом варианте решением задачи, как и в первом, является использование теоремы Пифагора.

1. Подставляем наши условные обозначения в теорему:
   c^2=a^2+b^2,
2. Выносим необходимый катет:
   a^2=c^2-b^2
3. Подносим обе части уравнения к квадратному кореню:
   a=√(c^2-b^2)
4. Подставляем данные значения и имеем решение:
   a=√(x^2-y^2)