Основные понятия
Вспомним для начала определения четной, нечетной и периодической функции.
Определение 2
Четная функция -- функция, которая не меняет свое значение при изменении знака независимой переменной:
Определение 3
Функция, которая повторяет свои значения через некоторый регулярный интервал времени:
T -- период функции.
Четность и нечетность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 1):
Рисунок 1.
Здесь $\overrightarrow{OA_1}=(x_1,y_1)$ и $\overrightarrow{OA_2}=(x_2,y_2)$ -- симметричные относительно оси $Ox$ векторы единичной длины.
Очевидно, что координаты этих векторов связаны следующими соотношениями:
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что функция синуса будет нечетной, а функция косинуса -- четной функцией, то есть:
Периодичность тригонометрических функций
Рассмотрим следующий рисунок (рис. 2).
Рисунок 2.
Здесь $\overrightarrow{OA}=(x,y)$ -- вектор единичной длины.
Сделаем полный оборот вектором $\overrightarrow{OA}$. То есть повернем данный вектор на $2\pi $ радиан. После этого вектор полностью вернется в начальное положение.
Так как тригонометрические функции синуса и косинуса можно определять с помощью единичной тригонометрической окружности, то получаем, что
То есть функции синуса и косинуса являются периодическими функциями с наименьшим периодом $T=2\pi $.
Рассмотрим теперь функции тангенса и котангенса. Так как $tgx=\frac{sinx}{cosx}$, то
Так как $сtgx=\frac{cosx}{sinx}$, то
Примеры задач на использование четности, нечетности и периодичности тригонометрических функций
Пример 1
Доказать следующие утверждения:
а) $tg{385}^0=tg{25}^0$
в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$
а) $tg{385}^0=tg{25}^0$
Так как тангенс -- периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим
б) ${cos \left(-13\pi \right)\ }=-1$
Так как косинус -- четная и периодическая функция с минимальным периодом $2\pi $, то получим
\[{cos \left(-13\pi \right)\ }={cos 13\pi \ }={cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ }=-1\]
в) $sin{(-721}^0)=-sin1^0$
Так как синус -- нечетная и периодическая функция с минимальным периодом ${360}^0$, то получим
С центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Определение
Синус (sin α)
- это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
Косинус (cos α) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2 π .
Четность
Функция синус - нечетная. Функция косинус - четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n - целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = -1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
;
;
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При ,
имеем:
;
.
При :
;
.
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
{ -∞ <
x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус , соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.
Свойства четности и периодичности
Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.
Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.
Свойства нечетности и периодичности
Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О - начала координат.
Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.
Периодичность тригонометрических функций
Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т!=0 (называемое периодом функции у=f (х)), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Следует понимать, что если Т - период функции, то число k*T, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.
Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π.
