Свойства корней n й степени примеры решения. Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры. Задачи для самостоятельного решения

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.:)

Поэтому сейчас я дам самое правильное и самое грамотное определение корня — единственное, которое вам действительно следует запомнить. А уже затем объясню: зачем всё это нужно и как это применять на практике.

Но сначала запомните один важный момент, про который многие составители учебников почему-то «забывают»:

Корни бывают чётной степени (наш любимый $\sqrt{a}$, а также всякие $\sqrt{a}$ и даже $\sqrt{a}$) и нечётной степени (всякие $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}$ и т.д.). И определение корня нечётной степени несколько отличается от чётной.

Вот в этом грёбаном «несколько отличается» скрыто, наверное, 95% всех ошибок и недопонимания, связанного с корнями. Поэтому давайте раз и навсегда разберёмся с терминологией:

Определение. Корень чётной степени n из числа $a$ — это любое неотрицательное число $b$ такое, что ${{b}^{n}}=a$. А корень нечётной степени из того же числа $a$ — это вообще любое число $b$, для которого выполняется всё то же равенство: ${{b}^{n}}=a$.

В любом случае корень обозначается вот так:

\{a}\]

Число $n$ в такой записи называется показателем корня, а число $a$ — подкоренным выражением. В частности, при $n=2$ получим наш «любимый» квадратный корень (кстати, это корень чётной степени), а при $n=3$ — кубический (степень нечётная), который тоже часто встречается в задачах и уравнениях.

Примеры. Классические примеры квадратных корней:

\[\begin{align} & \sqrt{4}=2; \\ & \sqrt{81}=9; \\ & \sqrt{256}=16. \\ \end{align}\]

Кстати, $\sqrt{0}=0$, а $\sqrt{1}=1$. Это вполне логично, поскольку ${{0}^{2}}=0$ и ${{1}^{2}}=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд. Потому что выяснилось, что для большинства «готовых» степеней таких «исходных» чисел нет. Судите сами:

\[\begin{align} & {{b}^{3}}=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & {{b}^{3}}=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end{align}\]

А, что если ${{b}^{3}}=50$? Получается, что нужно найти некое число, которое будучи трижды умноженное само на себя даст нам 50. Но что это за число? Оно явно больше 3, поскольку 3 3 = 27 < 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 > 50. Т.е. это число лежит где-то между тройкой и четвёркой, но чему оно равно — фиг поймёшь.

Именно для этого математики и придумали корни $n$-й степени. Именно для этого ввели значок радикала $\sqrt{*}$. Чтобы обозначить то самое число $b$, которое в указанной степени даст нам заранее известную величину

\[\sqrt[n]{a}=b\Rightarrow {{b}^{n}}=a\]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

\[\sqrt{2}=1,414213562...\]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt{2}=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Или вот ещё пример:

\[\sqrt{3}=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236... \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599... \\ \end{align}\]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой. Впрочем, можно, посчитать на калькуляторе, но даже самый совершенный калькулятор дат нам лишь несколько первых цифр иррационального числа. Поэтому гораздо правильнее записать ответы в виде $\sqrt{5}$ и $\sqrt{-2}$.

Именно для этого их и придумали. Чтобы удобно записывать ответы.

Почему нужны два определения?

Внимательный читатель уже наверняка заметил, что все квадратные корни, приведённые в примерах, извлекаются из положительных чисел. Ну, в крайнем случае из нуля. А вот кубические корни невозмутимо извлекаются абсолютно из любого числа — хоть положительного, хоть отрицательного.

Почему так происходит? Взгляните на график функции $y={{x}^{2}}$:

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y , т.е. не принимает отрицательных значений.

Подобная проблема возникает у всех корней с чётным показателем:

1. Строго говоря, корней с чётным показателем $n$ у каждого положительного числа будет сразу две штуки;
2. Из отрицательных чисел корень с чётным $n$ вообще не извлекается.

Именно поэтому в определении корня чётной степени $n$ специально оговаривается, что ответ должен быть неотрицательным числом. Так мы избавляемся от неоднозначности.

Зато для нечётных $n$ такой проблемы нет. Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на график функции $y={{x}^{3}}$:

Из этого графика можно сделать два вывода:

1. Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
2. Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

1. Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
2. А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок. Поэтому сейчас мы рассмотрим лишь самую важную «фишку», которая относится лишь к корням с чётным показателем. Запишем это свойство в виде формулы:

\[\sqrt{{{x}^{2n}}}=\left| x \right|\]

Другими словами, если возвести число в чётную степень, а затем из этого извлечь корень той же степени, мы получим не исходное число, а его модуль . Это простая теорема, которая легко доказывается (достаточно отдельно рассмотреть неотрицательные $x$, а затем отдельно — отрицательные). О ней постоянно талдычат учителя, её дают в каждом школьном учебнике. Но как только дело доходит до решения иррациональных уравнений (т.е. уравнений, содержащих знак радикала), ученики дружно забывают эту формулу.

Чтобы детально разобраться в вопросе, давайте на минуту забудем все формулы и попробуем посчитать два числа напролом:

\[\sqrt{{{3}^{4}}}=?\quad \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=?\]

Это очень простые примеры. Первый пример решит большинство людишек, а вот на втором многие залипают. Чтобы без проблем решить любую подобную хрень, всегда учитывайте порядок действий:

1. Сначала число возводится в четвёртую степень. Ну, это как бы несложно. Получится новое число, которое даже в таблице умножения можно найти;
2. И вот уже из этого нового числа необходимо извлечь корень четвёртой степени. Т.е. никакого «сокращения» корней и степеней не происходит — это последовательные действия.

Раберёмся с первым выражением: $\sqrt{{{3}^{4}}}$. Очевидно, что сначала надо посчитать выражение, стоящее под корнем:

\[{{3}^{4}}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Затем извлекаем корень четвёртой степени из числа 81:

Теперь сделаем то же самое со вторым выражением. Сначала возводим число −3 в четвёртую степени, для чего потребуется умножить его само на себя 4 раза:

\[{{\left(-3 \right)}^{4}}=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)=81\]

Получили положительное число, поскольку общее количество минусов в произведении — 4 штуки, и они все взаимно уничтожится (ведь минус на минус даёт плюс). Дальше вновь извлекаем корень:

В принципе, эту строчку можно было не писать, поскольку и ежу понятно, что ответ получится один и тот же. Т.е. чётный корень из той же чётной степени «сжигает» минусы, и в этом смысле результат неотличим от обычного модуля:

\[\begin{align} & \sqrt{{{3}^{4}}}=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt{{{\left(-3 \right)}^{4}}}=\left| -3 \right|=3. \\ \end{align}\]

Эти вычисления хорошо согласуются с определением корня чётной степени: результат всегда неотрицателен, да и под знаком радикала тоже всегда стоит неотрицательное число. В противном случае корень не определён.

Замечание по поводу порядка действий

1. Запись $\sqrt{{{a}^{2}}}$ означает, что мы сначала возводим число $a$ в квадрат, а затем извлекаем из полученного значения квадратный корень. Следовательно, мы можем быть уверены, что под знаком корня всегда сидит неотрицательное число, поскольку ${{a}^{2}}\ge 0$ в любом случае;
2. А вот запись ${{\left(\sqrt{a} \right)}^{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.

Определение. Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, что ${{b}^{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным. Например, правило возведения в степень:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]

Обратите внимание: мы можем возвести подкоренное выражение в любую степень и одновременно умножить на эту же степень показатель корня — и в результате получится то же самое число! Вот примеры:

\[\begin{align} & \sqrt{5}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{25} \\ & \sqrt{2}=\sqrt{{{2}^{4}}}=\sqrt{16} \\ \end{align}\]

Ну и что в этом такого? Почему мы не могли сделать это раньше? А вот почему. Рассмотрим простое выражение: $\sqrt{-2}$ — это число вполне нормальное в нашем классическом понимании, но абсолютно недопустимо с точки зрения арифметического корня. Попробуем преобразовать его:

$\begin{align} & \sqrt{-2}=-\sqrt{2}=-\sqrt{{{2}^{2}}}=-\sqrt{4} \lt 0; \\ & \sqrt{-2}=\sqrt{{{\left(-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.

Так вот: помимо «классического» определения корня $n$-й степени из числа и связанного с ним разделения на чётные и нечётные показатели есть более «взрослое» определение, которое вообще не зависит от чётности и прочих тонкостей. Это называется алгебраическим корнем.

Определение. Алгебраический корень $n$-й степени из числа любого $a$ — это множество всех чисел $b$ таких, что ${{b}^{n}}=a$. Для таких корней нет устоявшегося обозначения, поэтому просто поставим чёрточку сверху:

\[\overline{\sqrt[n]{a}}=\left\{ b\left| b\in \mathbb{R};{{b}^{n}}=a \right. \right\}\]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

1. Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
2. Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
3. Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:

\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]

Решение. С первым выражением всё просто:

\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]

Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.

\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]

Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.

Наконец, последнее выражение:

\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.

Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)

• Арифметическим корнем натуральной степени n>=2 из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Можно доказать, что для любого неотрицательного а и натурального n уравнение x^n=a будет иметь один единственный неотрицательный корень. Именно этот корень и называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а.

Арифметический корень n-ой степени из числа а обозначается следующим образом n√a. Число а в данном случае называется подкоренным выражением.

Арифметический корень второй степени называется квадратным корнем, а арифметический корень третей степени – кубическим корнем.

Основные свойства арифметического корня n-ой степени

• 1. (n√a)^n = a.

Например, (5√2)^5 = 2.

Это свойство прямо следует из определения арифметического корня n-ой степени .

Если a больше либора равно нулю, b больше нуля и n, m – некоторые натуральные числа такие, что n больше либо равно 2 и m больше либо равно 2, тогда справедливы следующие свойства:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Например, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Например, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Например,7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Например, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Заметим, что в свойстве 2, число b может быть равным нулю, а в свойстве 4 число m может быть любым целым, при условии, что a>0.

Доказательство второго свойства

Все последние четыре свойства доказываются аналогично, поэтому ограничимся доказательством только второго: n√(a*b)= n√a*n√b.

Используя определение арифметического корня докажем что n√(a*b)= n√a*n√b.

Для этого докажем два факта, что n√a*n√b. Больше либо равен нулю, и что (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b больше либо равно нулю, так как и а и b больше либо равны нулю.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, так как (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a*b.

Что и требовалось доказать. Значит свойство верно. Эти свойства очень часто придется использовать при упрощении выражений содержащих арифметические корни.

Сценарий урока в 11 классе по теме:

« Корень n-й степени из действительного числа. »

Цель урока: Формирование у учащихся целостного представления о корне n -ой степени и арифметического корень n-ой степени, формирование вычислительных навыков, навыков сознательного и рационального использования свойств корня при решении различных задач, содержащих радикал. Проверить уровень усвоения учащимися вопросов темы.

Предметные: создать содержательные и организационные условия для усвоения материала по теме « Числовые и буквенные выражения» на уровне восприятия осмысления и первичного запоминания; формировать умения применять данные сведения при вычислении корня n-й степени из действительного числа;

Метопредметные: способствовать развитию вычислительных навыков; умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

Личностные: воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать ответы других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Планируемый результат.

Предметные: уметь в процессе реальной ситуации применять свойства корня n-й степени из действительного числа при вычислении корней, решении уравнений.

Личностные: формировать внимательность и аккуратность в вычислениях, требовательное отношение к себе и к своей работе, воспитывать чувство взаимопомощи.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Мотивация к учебной деятельности:

Восточная мудрость гласит: «Можно коня привести к воде, но нельзя заставить его пить». И человека невозможно заставить учиться хорошо, если он сам не старается узнать больше, не имеет желания работать над своим умственным развитием. Ведь знания только тогда знания, когда они приобретены усилиями своей мысли, а не одной памятью.

Наш урок пройдёт под девизом: «Покорим любую вершину, если будем к ней стремиться». Нам с вами в течение урока нужно успеть преодолеть несколько вершин, и каждый из вас должен вложить все свои усилия, чтобы покорить эти вершины.

«Сегодня у нас урок, на котором мы должны познакомиться с новым понятием: « Корень n-й степени» и научиться применять это понятие к преобразованию различных выражений.

Ваша цель – на основе различных форм работы активизировать имеющиеся знания, внести свой вклад в изучение материала и получить хорошие оценки»
Корень квадратный из действительного числа мы с вами изучали в 8 классе. Корень квадратный связан с функцией вида y =x 2 . Ребята, вы помните, как мы вычисляли корни квадратные, и какие у него были свойства?
а) индивидуальный опрос:

что это за выражение

что называется квадратным корнем

что называется арифметическим квадратным корнем

перечислите свойства квадратного корня

б) работа в парах: вычислите.

-

2. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации: Решите уравнение x 4 =1 . Как мы его можем решить? (Аналитически и графически). Решим его графически. Для этого в одной системе координат построим график функции у = х 4 прямую у = 1 (рис. 164 а). Они пересекаются в двух точках: А (-1;1) и B(1;1). Абсциссы точек А и B, т.е. х 1 = -1,

х 2 = 1, являются корнями уравнения х 4 = 1.
Рассуждая точно так же, находим корни уравнения х 4 =16: А теперь попробуем решить уравнение х 4 =5; геометрическая иллюстрация представлена на рис. 164 б. Ясно, что уравнение имеет два корня x 1 и x 2 , причем эти числа, как и в двух предыдущих случаях, взаимно противоположны. Но для первых двух уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не пользуясь графиками), а с уравнением х 4 =5 имеются проблемы: по чертежу мы не можем указать значения корней, а можем только установить, что один корень располагается левее точки -1, а второй - правее точки 1.

х 2 = - (читается: «корень четвертой степени из пяти»).

Мы говорили об уравнении х 4 = а, где а 0. С равным успехом мы могли говорить и об уравнении х 4 =а, где а 0, а n - любое натуральное число. Например, решая графически уравнение х 5 = 1, находим х = 1 (рис. 165); решая уравнение х 5 " = 7, устанавливаем, что уравнение имеет один корень х 1 , который располагается на оси х чуть правее точки 1 (см. рис. 165). Для числа х 1 введем обозначение .

Определение 1. Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным числом, а число n - показателем корня.
Если n=2, то обычно не говорят «корень второй степени», а говорят "«корень квадратный». В этом случае не пишут Это тот частный случай, который вы специально изучали в курсе алгебры 8-го класса.

Если n = 3, то вместо «корень третьей степени» часто говорят «корень кубический». Первое знакомство с кубическим корнем у вас также состоялось в курсе алгебры 8-го класса. Мы использовали кубический корень в курсе алгебры 9-го класса.

Итак, если а ≥0, n= 2,3,4,5,…, то 1) ≥ 0; 2) () n = а.

Вообще, =b и b n =а - одна и та же зависимость между неотрицательными числами а и b, но только вторая описана более простым языком (использует более простые символы), чем первая.

Операцию нахождения корня из неотрицательного числа называют обычно извлечением корня. Эта операция является обратной по отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните:

Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1. И хотя, например, (-6) 6 =36 - верное равенство, перейти от него к записи с использованием квадратного корня, т.е. написать, что нельзя. По определению - положительное число, значит = 6 (а не -6). Точно так же, хотя и 2 4 =16, т (-2) 4 =16, переходя к знакам корней, мы должны написать = 2 (и в то же время ≠-2).

Иногда выражение называют радикалом (от латинского слова гаdix - «корень»). В русском языке термин радикальный используется довольно часто, например, «радикальные изменения» - это значит «коренные изменения». Между прочим, и само обозначение корня напоминает о слове гаdix: символ - это стилизованная буква r.

Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня. Иными словами, равенство (-2) 5 = -32 можно переписать в эквивалентной форме как =-2. При этом используется следующее определение.

Определение 2. Корнем нечетной степени n из отрицательного числа а (n = 3,5,...) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Это число, как и в определении 1, обозначают , число а - подкоренное число, число n - показатель корня.
Итак, если а , n=,5,7,…,то: 1) 0; 2) () n = а.

Таким образом, корень четной степени имеет смысл (т.е. определен) только для неотрицательного подкоренного выражения; корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного выражения.

5. Первичное закрепление знаний:

1. Вычислить: № № 33.5; 33.6; 33.74 33.8 устно а) ; б) ; в) ; г) .

г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать точное значение числа Ясно лишь, что оно больше, чем 2, но меньше, чем 3, поскольку 2 4 =16 (это меньше, чем 17), а З 4 = 81 (это больше, чем 17). Замечаем, что 24 намного ближе к 17, чем З4, так что есть основания использовать знак приближенного равенства:
2. Найти значения следующих выражений.

Поставить около примера соответствующую букву.

Небольшая информация о великом учёном. Рене Декарт (1596-1650) французский дворянин, математик, философ, физиолог, мыслитель. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел буквенные обозначения x 2 , y 3 . Всем известны декартовы координаты, определяющие функцию переменной величины.

3 . Решить уравнения: а) = -2; б) = 1; в) = -4

Решение: а) Если = -2, то y = -8. Фактически обе части заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим: 3х+4= - 8; 3х= -12; х = -4. б) Рассуждая, как в примере а), возведем обе части уравнения в четвертую степень. Получим: х=1.

в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение не имеет решений. Почему? Потому, что согласно определению 1 корень четной степени - неотрицательное число.
Вашему вниманию предложено несколько заданий. Когда вы выполните эти задания, вы узнаете имя и фамилию великого учёного-математика. Этот учёный в 1637 г первым ввел знак корня.

6. Давайте немного отдохнём.

Поднимает руки класс - это «раз».

Повернулась голова – это «два».

Руки вниз, вперёд смотри – это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,

С силой их к рукам прижать –это «пять».

Всем ребятам надо сесть –это «шесть».

7. Самостоятельная работа:

вариант: 2 вариант:

б) 3-. б)12 -6 .

2. Решите уравнение: а) х 4 = -16; б) 0,02х 6 -1,28=0; а) х 8 = -3; б)0,3х 9 – 2,4=0;

в) = -2; в)= 2

8. Повторение: Найдите корень уравнения = - х. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ впишите меньший из корней.

9. Рефлексия: Чему вы научились на уроке? Что было интересным? Что было трудным?

Корень n -й степени и его свойства

Что такое корень n -й степени? Как извлечь корень?

В восьмом классе вы уже успели познакомиться с квадратным корнем . Решали типовые примеры с корнями, применяя те или иные свойства корней. Также решали квадратные уравнения , где без извлечения квадратного корня – никак. Но квадратный корень – это лишь частный случай более широкого понятия – корня n -й степени . Помимо квадратного, бывает, например, кубический корень, корень четвёртой, пятой и более высоких степеней. И для успешной работы с такими корнями неплохо бы всё-таки для начала быть на «ты» с корнями квадратными.) Поэтому у кого проблемы с ними – настоятельно рекомендую повторить.

Извлечение корня – это одна из операций, обратных возведению в степень.) Почему «одна из»? Потому, что, извлекая корень, мы ищем основание по известным степени и показателю . А есть ещё одна обратная операция – нахождение показателя по известным степени и основанию. Такая операция называется нахождением логарифма. Она более сложная, чем извлечение корня и изучается в старших классах.)

Итак, знакомимся!

Во-первых, обозначение. Квадратный корень, как мы уже знаем, обозначается вот так: . Называется этот значок очень красиво и научно – радикал . А как обозначают корни других степеней? Очень просто: над «хвостиком» радикала дополнительно пишут показатель той степени, корень которой ищется. Если ищется кубический корень, то пишут тройку: . Если корень четвёртой степени, то, соответственно, . И так далее.) В общем виде корень n-й степени обозначается вот так:

Где .

Число a , как и в квадратных корнях, называется подкоренным выражением , а вот число n для нас здесь новое. И называется показателем корня .

Как извлекать корни любых степеней? Так же, как и квадратные – сообразить, какое число в n-й степени даёт нам число a .)

Как, например, извлечь кубический корень из 8? То есть ? А какое число в кубе даст нам 8? Двойка, естественно.) Вот и пишут:

Или . Какое число в четвёртой степени даёт 81? Тройка.) Значит,

А корень десятой степени из 1? Ну, ежу понятно, что единица в любой степени (в том числе и в десятой) равна единице.) То есть:

И вообще .

С нулём та же история: ноль в любой натуральной степени равен нулю. Стало быть, .

Как видим, по сравнению с квадратными корнями, здесь уже посложнее соображать, какое число в той или иной степени даёт нам подкоренное число a . Сложнее подбирать ответ и проверять его на правильность возведением в степень n . Ситуация существенно облегчается, если знать в лицо степени популярных чисел. Поэтому сейчас – тренируемся. :) Распознаём степени!)

Ответы (в беспорядке):

Да-да! Ответов побольше, чем заданий.) Потому, что, к примеру, 2 8 , 4 4 и 16 2 – это всё одно и то же число 256.

Потренировались? Тогда считаем примерчики:

Ответы (тоже в беспорядке): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

Получилось? Великолепно! Движемся дальше.)

Ограничения в корнях. Арифметический корень n -й степени.

В корнях n-й степени, как и в квадратных, тоже есть свои ограничения и свои фишки. По своей сути, они ничем не отличаются от таковых ограничений для квадратных корней.

Не подбирается ведь, да? Что 3, что -3 в четвёртой степени будет +81. :) И с любым корнем чётной степени из отрицательного числа будет та же песня. А это значит, что извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел нельзя . Это запретное действие в математике. Такое же запретное, как и деление на ноль. Поэтому такие выражения, как , и тому подобные – не имеют смысла .

Зато корни нечётной степени из отрицательных чисел – пожалуйста!

Например, ; , и так далее.)

А из положительных чисел можно со спокойной душой извлекать любые корни, любых степеней:

В общем, понятно, думаю.) И, кстати, корень совершенно не обязан извлекаться ровно. Это просто примеры такие, чисто для понимания.) Бывает, что в процессе решения (например, уравнений) выплывают и довольно скверные корни. Что-нибудь типа . Из восьмёрки кубический корень извлекается отлично, а тут под корнем семёрка. Что делать? Ничего страшного. Всё точно так же. – это число, которое при возведении в куб даст нам 7. Только число это очень некрасивое и лохматое. Вот оно:

Причём, это число никогда не кончается и не имеет периода: цифры следуют совершенно беспорядочно. Иррациональное оно… В таких случаях ответ так и оставляют в виде корня.) А вот если корень извлекается чисто (к примеру, ), то, естественно, надо корень посчитать и записать:

Снова берём наше подопытное число 81 и извлекаем из него корень четвёртой степени:

Потому, что три в четвёртой будет 81. Ну, хорошо! Но ведь и минус три в четвёртой тоже будет 81!

Получается неоднозначность:

И, чтобы её устранить, так же, как и в квадратных корнях, ввели специальный термин: арифметический корень n -й степени из числа a – это такое неотрицательное число, n -я степень которого равна a .

А ответ с плюсом-минусом называется по-другому – алгебраический корень n -й степени . У любой чётной степени алгебраическим корнем будет два противоположных числа . В школе же работают только с арифметическими корнями. Поэтому отрицательные числа в арифметических корнях попросту отбрасываются. Например, пишут: . Сам плюс, конечно же, не пишут: его подразумевают .

Всё, казалось бы, просто, но… А как же быть с корнями нечётной степени из отрицательных чисел? Ведь там-то всегда при извлечении получается отрицательное число! Так как любое отрицательное число в нечётной степени также даёт отрицательное число. А арифметический корень работает только с неотрицательными числами! На то он и арифметический.)

В таких корнях делают вот что: выносят минус из-под корня и ставят перед корнем. Вот так:

В таких случаях говорят, что выражен через арифметический (т.е. уже неотрицательный) корень .

Но есть один пунктик, который может вносить путаницу, – это решение простеньких уравнений со степенями. Например, вот такое уравнение:

Пишем ответ: . На самом деле, этот ответ – всего-навсего сокращённая запись двух ответов :

Непонятка здесь заключается в том, что чуть выше я уже написал, что в школе рассматриваются только неотрицательные (т.е. арифметические) корни. А тут один из ответов с минусом… Как быть? Да никак! Знаки здесь – это результат решения уравнения . А сам корень – величина всё равно неотрицательная! Смотрите сами:

Ну как, теперь понятнее? Со скобочками?)

С нечётной степенью всё гораздо проще – там всегда получается один корень. С плюсом или с минусом. Например:

Итак, если мы просто извлекаем корень (чётной степени) из числа, то мы всегда получаем один неотрицательный результат. Потому что это – арифметический корень. А вот, если мы решаем уравнение с чётной степенью, то мы получаем два противоположных корня , поскольку это – решение уравнения .

С корнями нечётных степеней (кубическими, пятой степени и т.д.) проблем никаких. Извлекаем себе и не паримся со знаками. Плюс под корнем – значит, и результат извлечения с плюсом. Минус – значит, минус.)

А теперь настал черёд познакомиться со свойствами корней . Некоторые уже будут нам знакомы по квадратным корням, но добавится и несколько новых. Поехали!

Свойства корней. Корень из произведения.

Это свойство уже знакомо нам из квадратных корней. Для корней других степеней всё аналогично:

То есть, корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя отдельно .

Если показатель n чётный, то оба подкоренных числа a и b должны быть, естественно, неотрицательными, иначе формула смысла не имеет. В случае нечётного показателя ограничений никаких нет: выносим минусы из-под корней вперёд и дальше работаем с арифметическими корнями.)

Как и в квадратных корнях, здесь эта формула одинаково полезна как слева направо, так и справа налево. Применение формулы слева направо позволяет извлекать корни из произведения . Например:

Эта формула, кстати говоря, справедлива не только для двух, а для любого числа множителей. Например:

Также по этой формуле можно извлекать корни из больших чисел: для этого число под корнем раскладывается на множители поменьше, а дальше извлекаются корни отдельно из каждого множителя.

Например, такое задание:

Число достаточно большое. Извлекается ли из него корень ровно – тоже без калькулятора непонятно. Хорошо бы его разложить на множители. На что точно делится число 3375? На 5, похоже: последняя цифра – пятёрка.) Делим:

Ой, снова на 5 делится! 675:5 = 135. И 135 опять на пятёрку делится. Да когда ж это кончится!)

135:5 = 27. С числом 27 всё уже ясно – это тройка в кубе. Значит,

Тогда:

Извлекли корень по кусочкам, ну и ладно.)

Или такой пример:

Снова раскладываем на множители по признакам делимости. Каким? На 4, т.к. последняя парочка цифр 40 – делится на 4. И на 10, т.к. последняя цифра – ноль. Значит, можно поделить одним махом сразу на 40:

Про число 216 мы уже знаем, что это шестёрка в кубе. Стало быть,

А 40, в свою очередь, можно разложить как . Тогда

И тогда окончательно получим:

Чисто извлечь корень не вышло, ну и ничего страшного. Всё равно мы упростили выражение: мы же знаем, что под корнем (хоть квадратным, хоть кубическим - любым) принято оставлять самое маленькое число из возможных.) В этом примере мы проделали одну весьма полезную операцию, тоже уже знакомую нам из квадратных корней. Узнаёте? Да! Мы вынесли множители из-под корня. В данном примере мы вынесли двойку и шестёрку, т.е. число 12.

Как вынести множитель за знак корня?

Вынести множитель (или множители) за знак корня очень просто. Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем то, что извлекается.) А что не извлекается – так и оставляем под корнем. Смотрите:

Раскладываем число 9072 на множители. Так как у нас корень четвёртой степени, в первую очередь пробуем разложить на множители, являющиеся четвёртыми степенями натуральных чисел – 16, 81 и т.д.

Попробуем поделить 9072 на 16:

Поделилось!

А вот 567, похоже, делится на 81:

Значит, .

Тогда

Свойства корней. Умножение корней.

Рассмотрим теперь обратное применение формулы – справа налево:

На первый взгляд, ничего нового, но внешность обманчива.) Обратное применение формулы значительно расширяет наши возможности. Например:

Хм, ну и что тут такого? Умножили и всё. Здесь и впрямь ничего особенного. Обычное умножение корней. А вот такой пример!

Отдельно из множителей корни чисто не извлекаются. Зато из результата – отлично.)

Опять же формула справедлива для любого числа множителей. Например, надо посчитать вот такое выражение:

Здесь главное – внимание. В примере присутствуют разные корни – кубические и четвёртой степени. И ни один из них точно не извлекается…

А формула произведения корней применима только к корням с одинаковыми показателями. Поэтому сгруппируем в отдельную кучку кубические корни и в отдельную – четвёртой степени. А там, глядишь, всё и срастётся.))

И калькулятора не понадобилось.)

Как внести множитель под знак корня?

Следующая полезная вещь – внесение числа под корень . Например:

Можно ли убрать тройку внутрь корня? Элементарно! Если тройку превратить в корень , то сработает формула произведения корней. Итак, превращаем тройку в корень. Раз у нас корень четвёртой степени, то и превращать будем тоже в корень четвёртой степени.) Вот так:

Тогда

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа. Причём той степени, какой хотим (всё от конкретного примера зависит). Это будет корень из n-й степени этого самого числа:

А теперь – внимание! Источник очень грубых ошибок! Я не зря здесь сказал про неотрицательные числа. Арифметический корень работает только с такими. Если у нас в задании где-то затесалось отрицательное число, то либо минус так и оставляем, перед корнем (если он снаружи), либо избавляемся от минуса под корнем, если он внутри. Напоминаю, если под корнем чётной степени получается отрицательное число, то выражение не имеет смысла .

Например, такое задание. Внести множитель под знак корня:

Если мы сейчас внесём под корень минус два, то жестоко ошибёмся:

В чём здесь ошибка? А в том, что четвёртая степень, в силу своей чётности, благополучно «съела» этот минус, в результате чего заведомо отрицательное число превратилось в положительное . А верное решение выглядит так:

В корнях нечётных степеней минус хоть и не «съедается», но его тоже лучше оставлять снаружи:

Здесь корень нечётной степени – кубический, и мы имеем полное право минус тоже загнать под корень. Но предпочтительнее в таких примерах минус также оставлять снаружи и писать ответ выраженным через арифметический (неотрицательный) корень , поскольку корень хоть и имеет право на жизнь, но арифметическим не является .

Итак, с внесением числа под корень тоже всё ясно, я надеюсь.) Переходим к следующему свойству.

Свойства корней. Корень из дроби. Деление корней.

Это свойство также полностью повторяет таковое для квадратных корней. Только теперь мы его распространяем на корни любой степени:

Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя .

Если n чётно, то число a должно быть неотрицательным, а число b – строго положительным (на ноль делить нельзя). В случае нечётного показателя единственным ограничением будет .

Это свойство позволяет легко и быстро извлекать корни из дробей:

Идея понятна, думаю. Вместо работы с дробью целиком мы переходим к работе отдельно с числителем и отдельно со знаменателем.) Если дробь десятичная или, о ужас, смешанное число, то предварительно переходим к обыкновенным дробям:

А теперь посмотрим, как эта формула работает справа налево. Здесь тоже выявляются очень полезные возможности. Например, такой примерчик:

Из числителя и знаменателя корни ровно не извлекаются, зато из всей дроби – прекрасно.) Можно решить этот пример и по-другому – вынести в числителе множитель из-под корня с последующим сокращением:

Как вам будет угодно. Ответ всегда получится один – правильный. Если ошибок не наляпать по дороге.)

Итак, с умножением/делением корней разобрались. Поднимаемся на следующую ступеньку и рассматриваем третье свойство – корень в степени и корень из степени .

Корень в степени. Корень из степени .

Как возвести корень в степень? Например, пусть у нас есть число . Можно это число возвести в степень? В куб, например? Конечно! Помножить корень сам на себя три раза, и – по формуле произведения корней:

Здесь корень и степень как бы взаимоуничтожились или скомпенсировались. Действительно, если мы число, которое при возведении в куб даст нам тройку, возведём в этот самый куб, то что получим? Тройку и получим, разумеется! И так будет для любого неотрицательного числа. В общем виде:

Если показатели степени и корня разные, то тоже никаких проблем. Если знать свойства степеней.)

Если показатель степени меньше показателя корня, то просто загоняем степень под корень:

В общем виде будет:

Идея понятна: возводим в степень подкоренное выражение, а дальше упрощаем, вынося множители из-под корня, если это возможно. Если n чётно, то a должно быть неотрицательным. Почему – понятно, думаю.) А если n нечётно, то никаких ограничений на a уже нету:

Разберёмся теперь с корнем из степени . То есть, в степень будет возводиться уже не сам корень, а подкоренное выражение . Здесь тоже ничего сложного, но простора для ошибок значительно больше. Почему? Потому, что в игру вступают отрицательные числа, которые могут вносить путаницу в знаках. Пока начнём с корней нечётных степеней – они гораздо проще.

Пусть у нас есть число 2. Можно его возвести в куб? Конечно!

А теперь – обратно извлечём из восьмёрки кубический корень:

С двойки начали, к двойке же и вернулись.) Ничего удивительного: возведение в куб скомпенсировалось обратной операцией – извлечением кубического корня.

Другой пример:

Здесь тоже всё путём. Степень и корень друг друга скомпенсировали. В общем виде для корней нечётных степеней можно записать такую формулку:

Эта формула справедлива для любого действительного числа a . Хоть положительного, хоть отрицательного.

То есть, нечётная степень и корень этой же степени всегда друг друга компенсируют и получается подкоренное выражение. :)

А вот с чётной степенью этот фокус может уже не пройти. Смотрите сами:

Здесь пока ничего особенного. Четвёртая степень и корень четвёртой же степени тоже друг друга уравновесили и получилась просто двойка, т.е. подкоренное выражение. И для любого неотрицательного числа будет то же самое. А теперь всего лишь заменим в этом корне два на минус два. То есть, посчитаем вот такой корень:

Минус у двойки благополучно «сгорел» из-за четвёртой степени. И в результате извлечения корня (арифметического!) мы получили положительное число. Было минус два, стало плюс два.) А вот если бы мы просто бездумно «сократили» степень и корень (одинаковые же!), то получили бы

Что является грубейшей ошибкой, да.

Поэтому для чётного показателя формула корня из степени выглядит вот так:

Здесь добавился нелюбимый многими знак модуля, но в нём страшного ничего нет: благодаря ему, формула также работает для любого действительного числа a. И модуль просто отсекает минусы:

Только в корнях n-й степени появилось дополнительное разграничение на чётные и нечётные степени. Чётные степени, как мы видим, более капризные, да.)

А теперь рассмотрим новое полезное и весьма интересное свойство, уже характерное именно для корней n-й степени: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится .

Чем-то напоминает основное свойство дроби, не правда ли? В дробях мы тоже числитель и знаменатель можем умножать (делить) на одно и то же число (кроме нуля). На самом деле, это свойство корней – тоже следствие основного свойства дроби. Когда мы познакомимся со степенью с рациональным показателем , то всё станет ясно. Что, как и откуда.)

Прямое применение этой формулы позволяет нам упрощать уже совершенно любые корни из любых степеней. В том числе, если показатели степени подкоренного выражения и самого корня разные . Например, надо упростить вот такое выражение:

Поступаем просто. Выделяем для начала под корнем четвёртую степень из десятой и – вперёд! Как? По свойствам степеней, разумеется! Выносим множитель из-под корня или работаем по формуле корня из степени.

А вот упростим, используя как раз это свойство. Для этого четвёрку под корнем представим как :

И теперь – самое интересное – сокращаем мысленно показатель под корнем (двойку) с показателем корня (четвёркой)! И получаем:

Корень n-й степени, его свойства.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √, арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например:

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например: арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 (при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

Уравнение х n =а.

Уравнение х n =а при нечетном n имеет единственное решение х= .

Например: х 3 =-125;

х= ;

х=- ;

Для наглядности сделаем проверку:

125=-125- верно.

Ответ: х=-5.

Уравнение х n =а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

Например:

х 1 = ; х 2 =- ;

х 1 =2; х 2 =-2.

Можно убедиться при проверке, что 2 4 =16 и (-2) 4 =16.

Ответ: ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например:

.

Так как <0, следовательно

Основные свойства корней.

Для арифметического корня n-й степени, как и для квадратного корня, существуют операции внесения множителя под знак корня и вынесение множителя из-под знака корня.

Например:

Из примера видно, что для внесения множителя под знак корня n-й степени его нужно

возвести в n-ю степень. Нужно помнить, что под знак с четным показателем мы имеем право внести только положительный множитель, например:

Аналогично производится вынесение множителя из-под знака корня, например:

формулой n-го члена ап : a n = a 1 + d · (n - 1)

формулой n-го члена гп:

Функции y=kx (где k - любое натуральное число). Прямая пропорциональность, график прямая.
Свойства:
область определения - R
область значений - R
нечетная
при к >0 функция возрастает, при к <0 –убывает

Корень квадратного уравнения (формула)

Корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) находят по формуле . Выражение D = b 2 – 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет действительные корни (или корень) тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен. Если , можно применить формулу .

если просто уравнений, а не систем, то алгоритм прост: 1. неизвестные влево, сложить коэфициенты; числа вправо, также сложить (с учетом знака конечно) 2. разделить правую часть на коэфициент при неизвестном 2прим. если коеф.=0 и справа 0 -- любое число есть решение уравнения если коеф.=0 а справа не 0 -- уравнение решения не имеет